华人数学家攻克希尔伯特第六问题，125年数学难题终获解答？
希尔伯特第六问题是什么
在数学的历史长河中，1900年是一个具有特殊意义的年份。这一年，德国数学家大卫・希尔伯特（David Hilbert）在巴黎举行的第二届国际数学家大会上，提出了23个最重要的数学问题，这些问题犹如璀璨的星辰，照亮了20世纪数学发展的道路，被后人称为“希尔伯特23个问题”。而其中的第六问题——“物理学的公理化”，更是以其深刻的内涵和重大的意义，成为了数学和物理学领域共同追求的目标。
希尔伯特第六问题的核心内容，是希望运用公理化方法推导物理定律，也就是用数学的方式，把物理学的基本理论（尤其是力学和概率论）建立在严格的公理体系上。这一问题的提出，有着深刻的历史渊源。19世纪，物理学取得了巨大的发展，牛顿力学、热力学、电磁学等理论体系逐渐成熟。然而，这些理论在数学基础上的严谨性却有待完善。希尔伯特敏锐地察觉到了这一问题，他希望能够像欧几里得几何那样，把物理学的基本概念、定律和推导过程变成一套逻辑严密、无可置疑的数学体系，从而为物理学的进一步发展奠定坚实的基础。
以概率论为例，在当时，概率论虽然已经在实际应用中取得了很多成果，但是其理论基础却并不牢固。希尔伯特希望能够为概率论建立起一套严格的公理体系，使得概率论的每一个结论都能够从这些公理出发，通过严密的逻辑推导得出。这样，概率论就能够摆脱以往那种依赖于直观和经验的状态，成为一门真正意义上的严谨科学。
在气体动理论方面，作为原子论的坚定支持者，玻尔兹曼发展了统计力学方法，基于原子论假设，给出了理想气体在非平衡状态下的状态运动方程，也就是玻尔兹曼方程。这个方程在描述气体的宏观行为方面取得了很大的成功，但是如何从严格的数学角度推导这个方程，一直是个难题。希尔伯特提出的研究计划，目标就是严格推导流体运动的定律，从原子尺度上的牛顿运动定律出发，以玻尔兹曼的动力学理论作为中间步骤。
从牛顿力学到流体方程：问题的关键挑战
从微观的牛顿力学到宏观的流体方程，这中间看似只有一步之遥，实则隐藏着诸多难以跨越的障碍。牛顿运动定律描述的是单个质点或多个质点系统的运动，它基于时间可逆性，也就是说，如果我们把时间的方向反转，牛顿运动定律所描述的物理过程依然成立。打个比方，在一个没有摩擦力的理想环境中，一个小球在光滑平面上滚动，根据牛顿运动定律，我们可以精确地计算出它在任何时刻的位置和速度。如果我们把时间倒转，小球会沿着原来的轨迹反向滚动，速度大小不变，方向相反，这完全符合牛顿运动定律。
然而，当我们把目光转向流体方程时，情况就变得截然不同了。以描述粘性流体运动的Navier-Stokes方程为例，它描述了流体的速度、压力、密度等宏观物理量随时间和空间的变化。与牛顿运动定律的时间可逆性不同，Navier-Stokes方程表现出明显的时间不可逆性。在日常生活中，我们可以观察到，当我们向一杯静止的水中滴入一滴墨水，墨水会逐渐在水中扩散开来，最终均匀地分布在整个水杯中。这个过程是不可逆的，我们从来没有见过均匀分布在水中的墨水会自动聚集回原来的一滴状态。这种时间不可逆性在流体方程中体现为熵增原理，即系统的熵总是随着时间的推移而增加，这与牛顿运动定律的时间可逆性形成了鲜明的对比。
为了解决从牛顿力学到流体方程的推导问题，许多科学家进行了不懈的努力。其中，玻尔兹曼的工作具有重要意义。他提出的玻尔兹曼方程，试图从微观粒子的运动出发，描述气体的宏观行为。玻尔兹曼引入了分布函数的概念，用来表示在某一时刻、某一位置和某一速度下的粒子数密度。通过对粒子碰撞过程的分析，他建立了玻尔兹曼方程，这个方程在一定程度上成功地解释了气体的输运现象，如扩散、热传导和粘性等。然而，玻尔兹曼方程的推导过程中也存在一些问题，例如它依赖于分子混沌假设，这个假设在某些情况下并不完全成立，这也限制了玻尔兹曼方程的应用范围。
除了玻尔兹曼方程，还有其他一些理论和方法被提出，用于解决从微观到宏观的推导问题。例如，统计力学中的系综理论，通过对大量微观粒子系统的统计平均，来描述系统的宏观性质。系综理论在解释热力学现象方面取得了很大的成功，但它与牛顿力学之间的联系仍然不够紧密，无法直接从牛顿运动定律推导出系综理论的结果。在数值模拟方面，分子动力学方法通过对大量微观粒子的运动进行数值求解，来模拟材料的宏观性质。虽然分子动力学方法可以得到一些与实验相符的结果，但它的计算量非常大，只能模拟有限的时间和空间尺度，无法完全解决从微观到宏观的推导问题。
DHM团队的突破：论文核心成果解读
在众多科学家为从牛顿力学到流体方程的推导难题绞尽脑汁之时，由邓煜（Yu Deng）、Zaher Hani和马骁组成的DHM团队取得了重大突破。他们发表在arXiv上的论文，犹如一道曙光，照亮了这个困扰学界已久的问题。
这篇论文的核心成果，是成功地从牛顿定律出发，通过玻尔兹曼动力学理论，推导出了流体力学方程。他们的研究过程严谨而复杂，首先，团队选择了稀薄气体硬球系统作为研究对象。在这个系统中，气体分子被看作是直径为ε的硬球，它们之间通过弹性碰撞相互作用，并且遵循牛顿运动定律。这种模型的选择具有重要意义，它既简化了问题的复杂性，又能够很好地反映气体分子的基本行为。
接下来，他们通过取玻尔兹曼-Grad极限，即让系统中的粒子数N趋于无穷，同时粒子直径ε趋于0，并且保持Nε^(d-1)为常数α（其中d为空间维度），从而将微观的粒子系统与介观的玻尔兹曼方程联系起来。在这个极限下，他们证明了粒子系统的s粒子关联函数（s远小于总粒子数N）收敛到玻尔兹曼方程的解。这一步的关键在于证明累积量在L1空间中的小性，也就是要控制粒子碰撞历史的复杂性，确保不会出现导致发散的因素。为了解决这个问题，团队设计了一种复杂的切割算法，通过对碰撞历史分子的组合性质进行精细分析，成功地证明了累积量的小性，从而完成了从牛顿定律到玻尔兹曼方程的严格推导。
从玻尔兹曼方程到流体力学方程的推导同样精彩。在碰撞率α趋于无穷时，对应于稀薄气体的平均自由程趋于0，这在宏观上体现为流体的连续介质极限。数学上已有结果表明，在一定条件下，玻尔兹曼方程的局部Maxwellian形式的解会收敛到流体力学方程的解。团队巧妙地结合了这两个极限过程，先固定α，让N趋于无穷、ε趋于0，得到玻尔兹曼方程的解；然后再让α趋于无穷，最终证明了粒子系统的物理量的极限满足宏观流体力学方程，如可压缩流体的欧拉方程以及不可压缩条件下的Navier-Stokes-Fourier方程。
他们的研究成果具有极高的创新性和理论价值。在创新性方面，团队引入的累积量解析方法以及设计的切割算法，为解决多粒子系统的动力学问题提供了全新的思路和方法。这种方法不仅能够追踪粒子碰撞的完整历史，还能够有效地控制碰撞历史的复杂性，从而实现从微观到介观再到宏观的严格推导。在理论价值上，这一成果填补了从牛顿力学到流体力学之间的理论空白，为物理学的公理化进程迈出了重要一步。它使得我们能够从微观的原子尺度出发，通过严密的数学推导，理解宏观流体的运动规律，为流体力学的进一步发展奠定了坚实的理论基础。
研究方法与创新点：累积量解析法与切割算法
在探索从微观牛顿力学到宏观流体力学方程的艰难征程中，DHM团队所采用的研究方法犹如闪耀的灯塔，照亮了前行的道路，其中累积量解析法和切割算法更是成为了他们攻克难题的关键利器。
累积量解析法是团队研究的核心方法之一，它为追踪粒子碰撞历史提供了一种独特而有效的途径。在多粒子系统中，粒子之间的碰撞过程极其复杂，如同一个错综复杂的网络。累积量解析法通过引入累积量假设，巧妙地将硬球动力学的演化表示为一系列费曼图结构，这些结构被称为碰撞历史分子。费曼图以图形的方式直观地展示了粒子之间的相互作用和碰撞过程，使得研究者能够清晰地追踪粒子碰撞的每一个细节。通过这种方式，累积量解析法成功地将复杂的粒子碰撞历史转化为可分析的数学结构，为后续的研究奠定了坚实的基础。
然而，仅仅追踪粒子碰撞历史还远远不够，在实际的粒子系统中，复碰撞现象的存在给研究带来了巨大的挑战。复碰撞指的是粒子在短时间内发生多次碰撞，这种现象会导致系统的复杂性急剧增加，甚至可能导致发散，使得从微观到宏观的推导变得异常困难。为了控制复碰撞，团队设计了一种复杂而精妙的切割算法。
切割算法的核心在于对碰撞历史分子的组合性质进行精细分析，通过巧妙地“切割”碰撞历史分子，确保其中的复碰撞数量受限，从而消除导致发散的因素。具体来说，切割算法就像是一位技艺精湛的工匠，对复杂的碰撞历史分子进行精心雕琢。它根据一定的规则和条件，将碰撞历史分子中可能导致复碰撞的部分进行合理的切割和处理，使得整个系统能够保持渐近收敛性。这种算法的设计不仅需要深厚的数学功底，更需要对物理过程的深刻理解，它是数学与物理完美结合的典范。
通过累积量解析法和切割算法的协同作用，团队成功地证明了累积量在L1空间中的小性，也就是证明了粒子系统的s粒子关联函数收敛到玻尔兹曼方程的解，其中s远小于总粒子数N。这一成果具有极其重要的意义，它不仅为从牛顿力学到玻尔兹曼方程的推导提供了关键的理论支持，也为后续从玻尔兹曼方程到流体力学方程的推导铺平了道路。在这个过程中，累积量解析法和切割算法就像是两把锋利的宝剑，斩断了研究道路上的重重荆棘，使得团队能够跨越微观与宏观之间的巨大鸿沟，完成了这一具有里程碑意义的研究。
学界反响与未来展望：菲尔兹奖的有力竞争者？
论文发表后，犹如一颗重磅炸弹，在数学界和物理界掀起了巨大的波澜。同行们纷纷对这一成果给予了高度评价，认为它是数学与物理学交融的伟大成果，为解决长期以来困扰学界的从微观到宏观的推导难题提供了关键的解决方案。许多数学家和物理学家开始深入研究这篇论文，探讨其方法和结论的正确性和应用前景。
在数学界，这一成果被视为对希尔伯特第六问题的重大突破，填补了数学理论的一项重要空白。它为数学物理领域的研究提供了新的思路和方法，激发了更多数学家对相关问题的研究兴趣。一些数学家认为，这项研究成果具有极高的创新性和理论价值，有望推动数学物理学科的进一步发展，甚至可能引发一系列相关领域的研究热潮。
在物理界，该成果同样引起了广泛关注。物理学家们对从牛顿定律到流体力学方程的严格推导表现出浓厚的兴趣，认为这将有助于深入理解物理现象的本质，为物理学的理论发展提供更坚实的基础。特别是在流体力学领域，这一成果为研究流体的运动规律提供了新的工具和方法，可能会对相关的工程应用产生重要影响。例如，在航空航天、能源、环境等领域，对流体力学的深入理解和精确计算至关重要，DHM团队的研究成果有望为这些领域的发展提供新的理论支持。
鉴于这一成果的重大意义和创新性，邓煜等人是否有可能凭借此成果获得菲尔兹奖，成为了学界和公众关注的焦点。菲尔兹奖是数学领域的最高荣誉之一，旨在表彰40岁以下数学家在基础数学领域的杰出贡献。从历史上看，获得菲尔兹奖的成果往往具有开创性、深刻性和广泛的影响力。邓煜等人解决狭义希尔伯特第六问题的成果，无疑满足了这些条件。他们的研究不仅在数学理论上取得了重大突破，而且对物理学和相关工程领域产生了深远的影响，具有极高的学术价值和应用前景。
然而，菲尔兹奖的评选是一个极其严格和复杂的过程，需要经过众多顶尖数学家的评审和讨论。虽然邓煜等人的成果备受瞩目，但最终是否能够获奖，还存在一定的不确定性。在竞争激烈的数学领域，每年都有许多优秀的研究成果涌现，评委们需要综合考虑各种因素，包括成果的创新性、重要性、影响力以及研究者的整体学术贡献等。
展望未来，在物理学公理化方面，DHM团队的成果为进一步探索其他物理领域的公理化提供了借鉴和思路。或许在不久的将来，科学家们能够沿着他们开辟的道路，将更多的物理理论建立在严格的公理体系之上，从而推动物理学向更高层次的严谨性和统一性发展。在流体力学研究方面，这一成果为深入研究流体的复杂行为提供了新的起点。未来的研究可以基于此，进一步探讨流体在不同条件下的运动规律，如高温、高压、强磁场等极端条件下的流体行为，以及多相流、湍流等复杂流动现象，为解决实际工程问题提供更精确的理论依据。同时，随着计算机技术的飞速发展，数值模拟在流体力学研究中的作用日益重要。结合DHM团队的理论成果和先进的数值计算方法，有望实现对流体力学问题的更高效、更准确的模拟和预测，为航空航天、能源、环境等领域的工程设计和优化提供强有力的支持。
